Tema 8: Princípio Multiplicativo da Contagem e a Probabilidade
Princípio Multiplicativo da Contagem
Muitas vezes temos a necessidade de descobrirmos a quantidade de formas diferentes que podemos realizar algo. Uma das maneiras de descobrimos isso é através do que chamamos de árvore de possibilidade temos um exemplo de quantas possibilidades diferentes teríamos ao jogarmos uma moeda e um dado simultaneamente, utilizando essa ideia.
A outra maneira mais utilizada e menos trabalhosa de resolver é utilizando o princípio fundamental da contagem.
Assim, no caso de jogarmos uma moeda e um dado simultaneamente, bastaria multiplicar quantas opções cada um desses objetos proporcionaria que, no caso da moeda seriam 2 (cara e coroa) e no dado seriam 6. Logo, teríamos:
2 . 6 = 12 possibilidades diferentes.
Viu, é muito mais fácil!!
Vejamos agora outros exemplos utilizando o princípio multiplicativo da contagem.
Exemplo 1:
Exemplo 2: De quantos modos diferentes podemos retirar 3 bolas de cores diferentes de uma urna repondo sempre elas de volta?
Resposta: Como as bolas podem ser repostas, teremos: 3.3.3 = 27 modos diferentes no total.
Exemplo 3: De quantos modos diferentes podemos obter os resultados do lançamento de 4 moedas?
Resposta: Observamos que temos 2 modos diferentes de obter o resultado do lançamento de uma moeda: cara e coroa. Assim, teremos:
2.2.2.2 = 16 modos diferentes no total.
Exemplo 4:
Exemplo 5: De quantos modos diferentes podemos construir um número de 3 dígitos utilizando somente números ímpares podendo repeti-los?
Resposta: Sabemos que os números ímpares são 5 no total: 1,3,5,7 e 9. Assim, teremos 5 opções no primeiro dígito. Já no segundo dígito teremos 4 opções e no terceiro dígito apenas 3 opções, já que não se pode repetir os números. Logo, teremos:
5.5.5 = 125 modos diferentes no total.
Exemplo 6: De quantos modos diferentes podemos formar palavras de 3 letras distintas com as letras da palavra FILHOS?
Resposta: Vemos que a palavra FILHOS apresenta 6 letras diferentes. Logo, encontramos 6 opções possíveis para a primeira letra da nova palavra a ser formada. Já para a segunda, encontramos 5 opções e 4 opções para a última letra. Assim, teremos:
6.5.4 = 120 modos diferentes no total.
Probabilidade
A Probabilidade é uma área da Matemática que estuda as chances de um fenômeno acontecer ou se repetir. Geralmente, ela é dada em porcentagem (%) e pode ser obtida pela fórmula:
P (E) = _n (E)_
n (S)
onde:
n (E) representa o número de elementos do evento e n (S) representa o número de elementos do espaço amostral.
Espaço amostral é o conjunto de todos os resultados possíveis que podem existir em algo que queremos observar.
Se quiser a resposta na forma de porcentagem (%), basta multiplicar o resultado da fórmula acima por 100.
Vejamos alguns exemplos práticos que envolvam a probabilidade.
1º exemplo: Em uma brincadeira de par ou ímpar com os dedos, qual será a probabilidade de tirarmos PAR?Resposta: Primeiro devemos descobrir todas as possibilidades possíveis, que é o espaço amostral.
Espaço amostral = (PAR), (ÍMPAR).
O espaço amostral é 2, pois temos duas possibilidades possíveis neste jogo: sair par ou ímpar.
O evento que se quer observar é que saia par. Assim teremos
Evento = (PAR)
Ou seja, o evento que se procura analisar só tem 1 possibilidade.
Assim, utilizando a fórmula da probabilidade, teremos:
P (E) = _n (E)_ = _1_ ou 0,5
n (S) 2
Caso queira a resposta em fração:
P (E) = _n (E)_ . 100 = _1_ . 100 = 50 %
n (S) 2
Portanto, a chance de ocorrer esse evento é de 50%.
2º exemplo: No lançamento de um dado, qual é a probabilidade de:A-) ocorrer o número 6?
Resposta: Primeiro devemos descobrir todas as possibilidades possíveis, que é o espaço amostral.
Espaço amostral = (1), (2), (3), (4), (5), (6).
O espaço amostral é de 6 possibilidades.
O evento que se quer observar é que saia o número 6. Assim teremos:
Evento = (6)
Ou seja, o evento que se procura analisar só tem 1 possibilidade.
Assim, utilizando a fórmula da probabilidade, teremos:
P (E) = _n (E)_ = _1_ = 0,16
n (S) 6
Caso queira a resposta em porcentagem:
P (E) = _n (E)_ . 100 = _1_ . 100 = 16 %
n (S) 6
Portanto, a chance de ocorrer esse evento é de 16%.
B-) sair um número ímpar?
Resposta: Vimos que o espaço amostral é de 6 possibilidades.
O evento que se quer observar é que saia um número ímpar. Assim teremos:
Evento = (1), (3), (5)
Ou seja, o evento que se procura analisar tem 3 possibilidades.
Assim, utilizando a fórmula da probabilidade, teremos:
P (E) = _n (E)_ = _3_ = _1_ ou 0,50
n (S) 6 2
Caso queira a resposta em porcentagem:
P (E) = _n (E)_ . 100 = _3_ . 100 = 50 %
n (S) 6
Portanto, a chance de ocorrer esse evento é de 50%.
C-) se obter um múltiplo de 3?
Resposta: Vimos que o espaço amostral é de 6 possibilidades.
O evento que se quer observar é que saia um múltiplo de 3. Assim teremos:
Evento = (3), (6)
Ou seja, o evento que se procura analisar tem 2 possibilidades.
Assim, utilizando a fórmula da probabilidade, teremos:
P (E) = _n (E)_ = _2_ = _1_ ou 0,33
n (S) 6 3
Caso queira a resposta em porcentagem:
P (E) = _n (E)_ . 100 = _2_ . 100 = 33 %
n (S) 6
Portanto, a chance de ocorrer esse evento é de 33%.
3º exemplo: Lançando duas moedas e observando a face voltada para cima, qual é a probabilidade de que caiam duas CARAS?
Espaço amostral = (cara, cara), (cara, coroa), (coroa,cara), (coroa,coroa).
O espaço amostral é de 4 possibilidades.
O evento que se quer observar é que saia (cara,cara). Assim teremos somente 1 possibilidade no evento.
Assim, utilizando a fórmula da probabilidade, teremos:
P (E) = _n (E)_ = _1_ ou 0,25
n (S) 4
Caso queira a resposta em porcentagem:
P (E) = _n (E)_ . 100 = _1_ . 100 = 25 %
n (S) 4
Portanto, a chance de ocorrer esse evento é de 25%.
4º exemplo: Em uma brincadeira de par ou ímpar com os dedos, qual será a probabilidade de tirarmos somente PAR ou somente ÍMPAR, três vezes seguidas.
Resposta: Neste caso, diferente do primeiro exemplo, teremos três respostas a serem analisadas. Assim, para descobrirmos todas as possibilidades possíveis, torna-se mais fácil se construir uma árvore como abaixo:
Assim, vemos que o espaço amostral é de 8.
O evento que se quer observar é a repetição seguida de PAR ou ÍMPAR. Assim, teremos:
Evento = (P,P,P), (I,I,I)
Logo, teremos o evento vale 2, pois temos duas possibilidades dele ocorrer.
Assim, utilizando a fórmula da probabilidade, teremos:
P (E) = _n (E)_ = _2_ = _1_ ou 0,25
n (S) 8 4
Caso queira a resposta em porcentagem:
P (E) = _n (E)_ . 100 = _2_ . 100 = 25 %
n (S) 8
Portanto, a chance de ocorrer esse evento é de 25%.
E qual seria a probabilidade de sair exatamente duas vezes PAR ou ÍMPAR?
Resposta: Vimos que o espaço amostral é 9.
Neste caso, o evento será:
Evento = (P,P,I), (P,I,P), (P,I,I), (I,P,P), (I,P,I), (I,I,P)
Portanto, o evento vale 6, pois temos 6 possibilidades dele ocorrer.
Assim, utilizando a fórmula da probabilidade, teremos:
P (E) = _n (E)_ = _6_ = _3_ ou 0,75
n (S) 8 4
Caso queira a resposta em porcentagem:
P (E) = _n (E)_ . 100 = _6_ . 100 = 75 %
n (S) 8
Portanto, a chance de ocorrer esse evento é de 75%.
5º exemplo: Qual a probabilidade das faces apresentarem o mesmo número quando lançamos 2 dados de uma vez , ou quando lançamos um dado duas vezes?Resposta: Abaixo temos um quadro mostrando todas as possibilidades ao se lançar dois dados, sendo que na parte amarela se encontram as possibilidades relacionadas ao evento que se busca: duas faces iguais.
.jpg)
Assim, teremos um espaço amostral de 36 possibilidades e um evento de 6 possibilidades.
Assim, utilizando a fórmula da probabilidade, teremos:
P (E) = _n (E)_ = _6_ = _1_ = 0,16
n (S) 36 6
Caso queira a resposta em porcentagem:
P (E) = _n (E)_ . 100 = _6_ . 100 = 16 %
n (S) 36
Portanto, a chance de ocorrer esse evento é de 16%.
6º exemplo: Qual a probabilidade da soma das duas faces ser maior do que 7 quando lançamos 2 dados de uma vez , ou quando lançamos um dado duas vezes?
Resposta: Abaixo temos um quadro mostrando todas as possibilidades ao se lançar dois dados, sendo que na parte verde se encontram as possibilidades relacionadas ao evento que se busca: soma maior que 7.
Assim, teremos um espaço amostral de 36 possibilidades e um evento de 15 possibilidades.
Assim, utilizando a fórmula da probabilidade, teremos:
P (E) = _n (E)_ = _15_ = _5_ = ou 0,41
n (S) 36 12
Caso queira a resposta em porcentagem:
P (E) = _n (E)_ . 100 = _15_ . 100 = 41 %
n (S) 36
Portanto, a chance de ocorrer esse evento é de 41%.
7º exemplo:
8º exemplo: Qual seria a probabilidade da roleta mostrada abaixo, após ser girada, cair em um número acima de 300?
Resposta: Vemos que o espaço amostral é 12.
Neste caso, o evento será:
Evento = (400), (500), (600)
Portanto, o evento vale 3, pois temos 3 possibilidades dele ocorrer.
Assim, utilizando a fórmula da probabilidade, teremos:
P (E) = _n (E)_ = _3_ = _1_ ou 0,25
n (S) 12 4
Caso queira a resposta em porcentagem:
P (E) = _n (E)_ . 100 = _3_ . 100 = 25 %
n (S) 12
Portanto, a chance de ocorrer esse evento é de 25%.
VÍdeos 8
Os vídeos abaixo explicam sobre o tema Princípio Multiplicativo da Contagem e Probabilidade.
Avaliação 8 (Valor de 10 pontos)
(a) 24
(b) 30
(c) 40
(d) 48
2º Exercício (3 PONTOS): Qual é a probabilidade de, jogando um dado, cair um número menor que 5?
(a) 25%
(b) 33%
(c) 55%
(d) 66%
3º Exercício (3 PONTOS): Na roleta de cores mostrada na figura ao lado, qual seria a probabilidade da seta, após girar por algum tempo, cair na cor AZUL?
(a) 25%
(b) 33%
(c) 55%
(d) 66%
Exercício EXTRA (2 PONTOS): Utilizando os algarismos 5, 6, 7 e 8 , descubra quantos números diferentes de três dígitos podemos escrever sem repetir os dígitos utilizados.
(a) 12 possibilidades diferentes
(b) 24 possibilidades diferentes
(c) 30 possibilidades diferentes
(d) 36 possibilidades diferentes
Clique no aviso abaixo e você poderá responder e me entregar essa avaliação.
Tema 9: Grandezas proporcionais
Uma grandeza é tudo aquilo que pode ser medido. Quando medimos, estamos comparando uma quantidade de grandeza qualquer com outra quantidade da mesma grandeza que se escolhe como unidade dessa medida, por exemplo comparando quantos metros cabem em uma certa distância ou quantos litros cabem em um recipiente, etc.
No nosso cotidiano, encontramos vários instrumentos que nos ajudam a realizar essa comparação de medidas, como mostrado nos desenhos abaixo.
As medidas mais conhecidas e utilizadas pelo ser humano, além do tempo são as relacionadas a distância (metro), peso (grama) e volume (litro).
Proporção:
É a igualdade entre razões, ou seja, entre frações.
Saber que duas grandezas são proporcionais se torna interessante quando precisamos saber quanto é o valor de uma delas quando sabemos o valor da outra grandeza.
Tudo isso veremos nos exercícios abaixo, como também veremos que existem dois tipos de grandezas.
Grandezas diretamente proporcionais:
Neste caso, as duas grandezas aumentam ou diminuem simultaneamente, ou seja, ao mesmo tempo, fazendo com que as razões (frações) que se formam entre elas sejam equivalentes (iguais).
EXEMPLO 1:
Numa floricultura, são colocadas as mesmas quantidades de flores em cada vaso. Se 15 flores ocupam 3 vasos, quantos vasos ocupam 5 flores?Resposta: Como são grandezas diretamente proporcionais, teremos:
FLORES VASOS
15 = 3
5 x
Podemos simplificar a razão 15/5, dividindo o numerador e o denominador por 5. Assim teremos:
FLORES VASOS
3 = 3
1 x
3.x = 1.3 => 3.x = 3
Dividindo ambos os membros da igualdade por 3, teremos:
X = 1
Portanto, 5 flores ocupam 1 vaso.
EXEMPLO 2:
Com 6 caixas de gelatina se servem 8 porções. Quantas caixas seriam necessárias para 20 convidados?
Resposta: Como são grandezas diretamente proporcionais, teremos:
CAIXAS PESSOAS
6 = 8
x 20
Podemos simplificar a razão 8/20, dividindo o numerador e o denominador por 4. Assim teremos:
CAIXAS PESSOAS
6 = 2
x 5
2.x = 6.5 => 2.x = 30
Dividindo ambos os membros da igualdade por 2, teremos:
X = 15
Portanto, são necessárias 15 caixas de gelatina.
EXEMPLO 3: Uma fábrica de parafusos montou uma tabela mostrando a quantidade de parafusos fabricado por minutos, que está mostrada abaixo. Vamos descobrir se as grandezas são diretamente proporcionais?
Rapidamente percebemos que as duas grandezas crescem juntas e, portanto, podem ser diretamente proporcionais. Para ter certeza, devemos observar que: dobrando uma grandeza, a outra também dobra;
triplicando uma grandeza, a outra também triplica;
e assim por diante, conforme mostrado abaixo.
Grandezas inversamente proporcionais:
Duas grandezas são chamadas de inversamente proporcionais quando o aumento na medida de uma delas faz com que a medida da outra seja reduzida na mesma proporção.
EXEMPLO 1:
EXEMPLO 2: A tabela abaixo mostra a velocidade de uma motocicleta e o tempo que ela demora para chegar ao seu destino.
Observe que, aumentando o valor de uma grandeza, o valor da outra abaixa. Mas só isso não basta, pois é necessário que as grandezas tenham proporções inversas, ou seja, se uma dobra, a outra cai pela metade. A figura abaixo explica isso.
EXEMPLO 3: Um automóvel desloca-se a 60 km/h e demora 4 horas para chegar a seu destino. Se esse mesmo automóvel estivesse a 120 km/h, quanto tempo levaria para completar esse mesmo percurso?
A proporção construída a partir dessa situação é:
Veloc. (Km/h) Tempo (h)
60 = 4
120 x
Essas grandezas são inversamente proporcionais, pois, aumentando a velocidade, gastaremos menos tempo em um mesmo percurso. Portanto, inverteremos uma das equações:
120 = 4
60 x
60 x
Agora, basta aplicar a propriedade fundamental das proporções e resolver a equação resultante:
120.x = 4.60
120.x = 240
x = 240
120
120
x = 2
Serão gastas 2 horas andando a 120 km/h.
Grandezas não proporcionais:
Duas grandezas podem também não serem proporcionais, ou seja, não haver proporção entre suas medidas.
EXEMPLO 1: Na tabela abaixo, percebemos que as grandezas crescem juntas, que é uma das condições para serem diretamente proporcionais. Porém, percebemos que a terceira coluna da grandeza X tem um valor que é o quádruplo da primeira coluna (8 é o quádruplo de 2), enquanto que na grandeza Y isso não ocorre (22 não é o quádruplo de 4). Portanto, concluímos que essas grandezas não são proporcionais.
EXEMPLO 2: Nas duas tabelas abaixo, as grandezas U e V não são proporcionais. Vejamos:
Na tabela 1, percebemos que as grandezas crescem juntas, que é uma das condições para serem diretamente proporcionais. Porém, percebemos que a segunda coluna da grandeza U tem um valor que é o dobro da primeira coluna (5 é o dobro de 2,5), enquanto que na grandeza V isso não ocorre (5 não é o dobro de 4).
Na tabela 2, percebemos que as grandezas crescem invertidas, que é uma das condições para serem inversamente proporcionais. Porém, percebemos que a segunda coluna da grandeza U tem um valor que é o dobro da primeira coluna (20 é o dobro de 10) e, portanto, na grandeza V, a segunda coluna deveria conter a metade do valor que está na primeira coluna. Mas isso não ocorre (3 não é metade de 4).
VÍdeos 9
Os vídeos abaixo explicam sobre o tema Granezas Proporcionais.
Avaliação 9 (Valor de 10 pontos)
1º Exercício-) Nas três tabelas abaixo, apenas uma delas é proporcional, enquanto as outras não são proporcionais. Assim, podemos dizer que a tabela proporcional é a:
(b) tabela 2
(c) tabela 3
2º Exercício-) Observando as duas tabelas abaixo, podemos dizer que:
(a) as duas tabelas têm grandezas inversamente proporcionais
(b) as duas tabelas têm grandezas diretamente proporcionais
(c) as duas tabelas têm grandezas que não são proporcionais
(d) a tabela 1 tem grandezas inversamente proporcionais, enquanto a tabela 2 tem grandezas que não são proporcionais
3º Exercício-) Observando a tabela 1 do exercício anterior, existe uma interrogação onde deveria ter um número. Com o conhecimento que você aprendeu sobre grandezas proporcionais, podemos dizer que esse número é:
(a) 8,00 reais
(b) 10,00 reais
(c) 12,00 reais
(d) 14,00 reais
Clique no aviso abaixo e você poderá responder e me entregar essa avaliação.
Nenhum comentário:
Postar um comentário