Junho

 

Tema 5: Área de Figuras Planas

Área de Quadriláteros

Quadriláteros são polígonos que tem quatro lados. Existem vários quadriláteros. Vejamos como se acha a área deles.

Área de quadrados e retângulos:

Para descobrirmos a área de um quadrado ou retângulo, basta multiplicarmos as medidas de dois lados vizinhos. 

Vejamos um exemplo.

Exemplo: Descubra a área do retângulo abaixo.

 Área = 8cm . 5cm = 40 cm²

 

Exemplo: Descubra a área da figura abaixo.

Para descobrirmos a área, devemos dividir a figura em duas áreas conhecidas, no caso quadrado e retângulo, achar o valor destas áreas e, depois, somá-las.

Área A1 = 6cm.6cm = 36cm²
Área A2 = 4cm.10cm = 40cm²
Área total da figura = 36cm² + 40cm² = 76cm².

Área de paralelogramos:

No caso do paralelogramo, se recortarmos e deslocarmos parte dele, conforme mostrado na figura abaixo, veremos que teremos um retângulo. Assim, a fórmula da área do paralelogramo é semelhante a do retângulo, ou seja:

Área = base . altura

Vejamos um exemplo.

Exemplo: Descubra a área do paralelogramo da caneta mostrada abaixo.

Temos que a área de paralelogramo será:

Área = base . altura

Área = 12 . 5 = 60

Portanto, a caneta tem 60 cm² de areal lateral.

Repare que 7 cm não entra na fórmula da área pois não é nem a medida da base e nem a altura da caneta.

Área de losangos:

A fórmula da área do losango é semelhante a do retângulo, dividida por 2, onde D e d são as diagonais do losango, ou seja:

Vejamos um exemplo.

Exemplo: Descubra a área do brinco mostrado na figura ao lado.

Resposta: Utilizando a fórmula da área de um losango, teremos:

A = (6cm.3cm)/2

A = 18cm²/2

A = 9cm²

Portanto, a área ocupada pelo brinco é de 9 cm².

Área de Triângulos

A área de um triângulo é obtida pela multiplicação da base desse triângulo (b) pela altura (h). A figura abaixo explica como pode ser feito isto.

Onde b é a base e h é a altura do triângulo.

Vejamos um exemplo.

Exemplo: A figura abaixo é um trapézio. Descubra a área dele.

Para achar a área da figura, dividimos ela em duas partes e, depois, somamos as áreas dessas partes. 

Área A1 = 4m . 6m = 24m²

Área A2 = (8m . 6m)/2 = 24m²

Área total = 24m² + 24m² = 48m²

Comprimento de uma Circunferência

Os elementos de uma circunferência.

Circunferência: A circunferência é o lugar geométrico de todos os pontos de um plano que estão localizados a uma mesma distância r de um ponto fixo denominado centro da circunferência.

Círculo: é a região da circunferência com sua região interna.

Raio: Raio de um circunferência (ou de um círculo) é um segmento de reta com uma extremidade no centro da circunferência e a outra extremidade num ponto qualquer da circunferência.

Diâmetro: Diâmetro de uma circunferência (ou de um círculo) é o segmento de reta que passa pelo centro da circunferência. A medida de um diâmetro corresponde a medida de dois raios, ou seja,

diâmetro = raio + raio

d= 2 . r

Comprimento de uma Circunferência

Se DIVIDIRMOS A EXTENSÃO DE UMA CIRCUNFERÊNCIA, ou seja, o seu COMPRIMENTO (C) PELO SEU DIÂMETRO (d) encontraremos sempre um  número que foi denominado de Pi (π). 

Assim, em qualquer circunferência, teremos a fórmula:

                           _C_  = π

                             d

Essa fórmula pode ser modificada levando a variável d para o outro lado da igualdade. Assim, teremos:

C = π . d      ou    

C = π . 2 . r    =>   C = 2 . π . r 

Hoje sabemos que o número Pi (π) é um número irracional, ou seja, infinito e sem períodos repetitivos, e com a ajuda dos computadores torna-se possível determinar centenas de milhões de casas decimais pertencentes a esse número. Aqui são apresentadas as primeiras cinquenta casas decimais: 

π = 3,14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971 69399 3751. Normalmente, costumamos arredondar o valor de π  para 3 , 3,1 ou 3,14 nos nossos cálculos.

Vejamos alguns exemplos práticos:

1º exemplo:  O diâmetro de um aro de uma cesta de basquete mede 45 cm. Supondo π igual a 3, podemos dizer que o comprimento do aro seria de:
( a )  130 cm
( b )  135 cm
( c )  140 cm
( d )  145 cm
( e )  150 cm
Resposta:  Foi dado o diâmetro = 45 cm, portanto:
C = π . d 

C = 3 . 45 = 135 cm

2º exemplo: A roda maior de uma bicicleta antiga tem o seus raios medindo 50 cm. Supondo um valor de 3,1 para π, pergunta-se:

A-) qual é o comprimento dessa roda?

Resposta:  Foi dado o raio = 50 cm, portanto:

C = 2 . π . r 

C = 2 . 3,1 . 50 

C = 310 cm

Área de um Círculo

A área de um círculo pode ser definida pela fórmula:

A = π . r²

onde r é o raio do círculo.

Vejamos alguns exemplos relacionados ao cálculo da área de um círculo.

1º exemplo: Duas pizzas foram entregues a um freguês que gosta muito de suas bordas. Descubra a área de cada uma delas, supondo que π seja 3.

 Resposta: No problema, foi dado o diâmetro da pizza. Portanto, o raio será metade do diâmetro. 
Assim:

r  =  _d_  =  _20_  =  10 cm

         2           2

Utilizando a fórmula da área de um círculo, temos:

A = π . r²

A = 3 . 10²       

A = 3 . 100                    

A = 300 cm²

Portanto, a pizza tem uma área de 300 cm². 

Resposta: No problema, foi dado o raio da pizza, que é de 9 cm.

Utilizando a fórmula da área de um círculo, temos:

A = π . r²

A = 3 . 9²  

A = 3 . 81    

A = 243 cm²

Portanto, a pizza tem uma área de aproximadamente 243 cm².

2º exemplo: Um cachorro foi amarrado na esquina de uma casa por uma coleira cuja corrente mede 4 metros. Supondo que π seja 3, qual é o tamanho da área que o cachorro consegue circular?
Resposta: Podemos ver que o espaço ocupa 3/4 de um círculo. Assim, após acharmos a área de todo um círculo, temos que dividir por 4 e depois multiplicar por 3 para achar a área desse espaço.

Utilizando a fórmula da área de um círculo, temos:

A = π . r²

A = 3 . 4²           

A = 3 . 16              

A = 48

Dividindo por 4, temos:

A = 48 / 4            = >          A = 12

Multiplicando por 3, temos:

A = 12 . 3            = >          A = 36

Portanto, o espaço que o cachorro pode ocupar é de 36 m².

 VÍdeos 5

Os vídeos abaixo explicam sobre o tema Área de Quadriláteros e Comprimento e Área de Círculos.

 Avaliação 5 (Valor de 10 pontos)

1º Exercício-) Para descobrir a área de da letra L que João tinha recortado de um cartaz, ele fez os cálculos mostrados na figura abaixo. Podemos dizer que esses cálculos:

(a)  estão corretos e a área da letra L é de 73 cm²

(b)  estão errados, pois não se pode somar duas áreas

(c)  estão errados, pois existe uma fórmula própria para a letra L

(d)  estão errados, pois errou em suas contas

2º Exercício-) Sabendo que uma quadra de basquete tem uma área de 600 m², podemos dizer que seus lados X e Y devem medir:

(a)  5 m  e  20 m

(b)  10 m  e  30 m

(c)  20 m  e  30 m

(d)  30 m  e  50 m

3º Exercício-) Supondo que o valor de π seja 3, podemos dizer que o comprimento da circunferência da figura abaixo será de:

(a)  130 cm 

(b)  190 cm 

(c)  240 cm 

(d)  480 cm 

2 PONTOS A MAIS-) Assista o vídeo abaixo e descubra quais são os dois números que estão abaixo que sejam equivalentes a fração 3/5 e ganhe mais dois pontos na sua nota.

(a)  0,4

(b)  0,6

(c)  1,4

(d)  30%

(e)  60%

(f)  6/15

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Tema 6: Expressões algébricas equivalentes

Duas expressões algébricas são chamadas equivalentes quando, substituindo a variável (letra) por um determinado número, encontramos o mesmo resultado após realizarmos as operações necessárias. 

Por exemplo:

As três expressões algébricas abaixo são equivalentes:

2.n + 4  

n + n + 4    

2.(n + 2)

Como provamos isso?

Veja que se substituirmos a variável n por 1, por exemplo, teremos a mesma resposta após realizarmos as operações necessárias:

2.1 + 4  será igual a  2 + 4  que será 6

1 + 1 + 4  será igual a 6

2.(1 + 2)  será igual a  2.3  que será 6

Assim, você poderia substituir n por qualquer outro número que sempre chegaria a um resultado igual para as três expressões algébricas.

Vejamos mais alguns exemplos.

Exemplo 1:

Exemplo 2:

Exemplo 3:

Exemplo 4:

Podemos encontrar expressões algébricas equivalentes em problemas que envolvem sequências de figuras ou de números, como no exemplo abaixo mostrado.

Exemplo 5:

Exemplo 6:

Exemplo 7:

Exemplo 8:

 VÍdeos 6

Os vídeos abaixo explicam sobre o tema Expressões Algébricas Equivalentes.

 Avaliação 6 (Valor de 10 pontos)

1º Exercício-) Uma expressão algébrica equivalente a  4X + 8 seria:

(a)  (2X + 4) + (2X + 4)

(b)  2.(X + 8) + 2.(X + 8)

(C)  2X + 2X + 2 + 2

(D)  8.(X + 2)

2º Exercício-) Os primeiros elementos de uma sequência numérica que corresponderia a expressão  2.(X + 1) + X  seria:

(a)   3,     6,     9,     12,   ...

(b)   5,     10,     15,     20,   ...

(c)   5,     8,      11,     14,   ...

(d)  10,     12,    15,     19,   ...

3º Exercício-) João realizou um exercício que pedia uma expressão algébrica que fosse equivalente a (X - 3B).(X + B) e resolveu da forma que está mostrado abaixo.

Podemos dizer que João:

(a)  acertou o exercício

(b)  errou na primeira linha

(c)  errou na segunda linha

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Tema 7: Que Gráfico devo utilizar?

Vamos ver quais seriam os principais tipos de gráficos e quando devemos utilizá-los.

Gráficos de barra:

Os gráficos de barras são utilizados quando se deseja comparar as partes (barras) que estão relacionadas nele. As barras podem ser horizontais ou verticais que, neste caso, é conhecido como gráfico de colunas.

Gráficos de linha:

Os gráficos de linha são ideais para que possamos compreender melhor o que está acontecendo ao longo do tempo em relação a aquele tema e também termos uma noção do que poderá vir a ocorrer depois.

Gráfico de setores

Gráficos de setores são também chamados de gráficos de pizza. Gráficos de pizza normalmente são utilizados para que possamos comparar a importância de cada pedaço em relação ao total, que seria todo o círculo.

Vejamos um exemplo resolvido:

Exemplo 1: Uma pesquisa realizada em uma escola mostrou que:

25% dos alunos gostam de geografia;

30% dos alunos gostam de matemática;

45% dos alunos gostam de artes;

30% dos alunos não gostam de nenhuma dessas disciplinas.

Que tipo de gráfico você utilizaria para representar essa pesquisa?

Resposta: O gráfico mais adequado seria o de COLUNAS, pois se somarmos todas as porcentagens veremos que dará um valor maior que 100% e, assim, não podendo ser representado por um gráfico de SETORES, onde o círculo inteiro representa o total de 100%. 

Por não haver uma continuidade como o tempo, também não podemos representar através de um gráfico de LINHAS. Abaixo temos um exemplo de como ficaria o gráfico.

Cite um exemplo dessa pesquisa em que poderíamos utilizar um gráfico de LINHAS.

Resposta: Se na pesquisa tivéssemos observado, por exemplo, o interesse dos alunos por essas matérias ao longo do ano, como mostrado abaixo.

 VÍdeos 7

Os vídeos abaixo explicam sobre o tema Gráficos.

 Avaliação 7 (Valor de 10 pontos)

 Exercício 1  Abaixo temos um gráfico de linha sobre a venda e o custo de bicicletas. 

Podemos dizer que a maior vantagem do gráfico de linha sobre os demais gráficos é que ele:

(a)  é mais fácil de calcular.

(b)  permite analisar as alterações ao longo do tempo, ajudando assim a percebermos o que pode ocorrer no futuro.

(c)  ocupa menos espaço.

(d)  permite colocar todos os dados de uma pesquisa, diferente dos demais gráficos.

Exercício 2  Abaixo temos um gráfico de setores (ou de "pizza"). Com base nele, podemos dizer que:

(a)  o transporte rodoviário e o dutoviário juntos são responsáveis por mais da metade do transporte de carga.

(b)  o transporte aéreo e aquaviário são os que menos transportam carga.

(c)  o transporte ferroviário é mais importante que o transporte rodoviário.

(d)  o transporte aéreo transporta tanta carga quanto os transportes rodoviário e ferroviário juntos.

Assista ao vídeo abaixo sobre Expressões Algébricas Equivalentes e resolva os dois próximos exercícios para conquistar mais cinco pontos que poderão melhorar ainda mais sua nota nesta prova.

Exercício 3  Um aluno tentou modificar uma expressão algébrica para criar outra equivalente a ela. A figura abaixo mostra os passos que ele fez. Observando o que foi feito, podemos dizer que:

(a) ele errou logo na LINHA 1

(b) ele errou na LINHA 2

(c) ele errou na LINHA 3

(d) ele acertou tudo

Exercício EXTRA (valor de 2 pontos)  Abaixo temos duas expressões algébricas equivalentes a expressão  2B.(3A - 6 + 9B)

Quais seriam essas duas expressões:

(a)  6AB - 12B + 18B²

(b)  6B.(A - 2 + 3B)

(c)  8B - 20A - 18B

(d)  5AB - 8B + 11B²

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