Matematica na Escola: Março

Tema 5:

Potenciação.

Quando aprendemos a operar potências, a primeira e mais simples regra que dominamos é que devemos sempre multiplicar a base por ela mesma quantas vezes indicar o expoente. Por exemplo, se temos a potência 2¹⁰, devemos multiplicar o 2 por 10 vezes da seguinte forma:

2¹⁰ = 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 = 1024

Mas e se o expoente for um número negativo?

Como resolver a potência 2^–10?

Basta você considerar o 2 como sendo uma fração, ou seja, 2/1 e inverter essa fração, trocando o denominador de lugar com o numerador. Assim, teremos:

Vejamos alguns outros exemplos de potências com expoente negativo:

1° Exemplo: 3^{– 2}

O inverso de 3 é ¹/_3. Logo, para calcular 3^{– 2}, faremos:

2° Exemplo: 10^{– 1}

O inverso de 10 é ¹/₁₀. Calculando 10^{– 1}, temos:

3° Exemplo: (³/₄)^{– 3}

O inverso de ³/₄ é ⁴/_3. Então (³/₄)^{– 3} será dado da seguinte forma:

4° Exemplo: (^{– 2}/₃)^{– 4}

O inverso de ^{– 2}/₃ é ^{– 3}/₂. Calculando (^{– 2}/₃)^{– 4}, teremos:

5° Exemplo: (⁸/₉)^{– 2}

O inverso de ⁸/₉ é ⁹/₈. Calculando (⁸/₉)^{– 2}, teremos:

Mas e se o expoente for uma fração?

Como resolver a potência 3^1/2?

Nesse caso, a potência se transformará em uma radiciação. Assim, teremos:

3^1/2 = √3¹ = √3

Notação centífica

Como você sabe, em praticamente toda atividade científica são utilizados números. Dentre eles, existe um tipo de número que é muito especial. Trata-se da notação científica, que é uma forma simplificada de escrever números muito grandes ou muito pequenos. Assim sendo, um cientista, ao realizar pesquisas envolvendo moléculas, átomos ou até distâncias entre corpos no espaço, entre outras medidas, utiliza esse tipo de número. Isso mostra o quanto é importante os cálculos envolvendo a notação científica nos mais diversos setores científicos, como Química, Biologia, Física e Astronomia.

Veja o exemplo da nanotecnologia. Ela é uma parte da engenharia que trabalha com medidas de comprimento da ordem de 1 bilionésimo do metro, isto é, 0,000 000 001 m. Observe que escrever esse tipo de número é desgastante e pode implicar em possíveis erros na colocação de tantos zeros. Mas como podemos escrever esse tipo de número de uma forma mais prática? Para respondermos isso, vamos utilizar um número mais fácil, o número 3000.

Abaixo temos o número 3000 escrito de diversos modos:

3000.1 = 300.10 = 30.10.10 = 3.10.10.10
3000.10⁰ = 300.10¹ = 30.10² = 3.10³

Os quatro últimos números (números da linha de baixo) mostram uma forma de digitar o número 3000 utilizando-se de potências de 10. Neles, os números tingidos em amarelo que vem antes da potência e 10, recebem o nome de MANTISSA.

Ficou definido que um número estará em Notação Científica quando a Mantissa estiver entre 1 e 10 (incluindo o 1).

Dessa forma, dos números citados acima, o último número é que representa a forma correta de se escrever 3000 em notação científica, ou seja, 3.10³.

Vejamos outros exemplos de Notação Científica:
4500000 = 4,5.10.10.10.10.10.10 = 4,5.10⁶
0,000091 = 9,1 = 9,1.10^-5
10.10.10.10.10
10000000 = 1.10⁷ = 10⁷

Vejamos outros exemplos importantes de medidas em que se tornam necessárias a conversão para a notação científica.

Exemplo 1: A distância média entre o Sol e a Terra é de 149 600 000 Km.
Convertendo para notação científica, teremos: 149 600 000 = 1,496.10⁸

Exemplo 2:  A massa do Sol é de aproximadamente 1 989 000 000 000 000 000 000 000 000 000 Kg.
Convertendo para notação científica, teremos: 1 989 000 000 000 000 000 000 000 000 000 = 1,989.10³⁰

Exemplo 3: O diâmetro do Sol é 1 390 000 Km.
Convertendo para notação científica, teremos: 1 390 000 = 1,39.10⁶

Exemplo 4:  A velocidade da luz é de aproximadamente 300 000 000 m/s .
Convertendo para notação científica, teremos: 300 000 000 = 3.10⁸

Exemplo 5:  O raio de um átomo é de 0,00000000005 mm.
Convertendo para notação científica, teremos: 0,00000000005 = 5.10^-11

Vídeos 5

Os vídeos abaixo são relacionados a Potenciação. Assista a todos.

Avaliação 5: (valor de 10 pontos)

1ª Questão: Uma das opções abaixo está errada. Qual seria?

(a) (-3³) = (-3) . (-3) . (-3) = -27

(b) 2³ . 2² = 2³⁺² = 2⁵

(c) 6⁰ = 1

(d) (-4²) = (-4) . (-4) = -16

2ª Questão: A potência 4^3/2 , pode ser escrita como:

(a) 4³ . 4²

(b) √3⁴

(c) √3²

(d) √4³

3ª Questão: O número 40020000 em notação científica ficaria:

(a) 4002.10⁴

(b) 4.10⁴

(c) 4.10^-7

(d) 4,002.10⁷

Clique no aviso abaixo e você poderá responder e me entregar essa avaliação.

Radiciação.

É uma operação inversa da potenciação. Assim, quando tivermos uma potenciação dentro de uma raiz de mesmo grau, ou vice-versa, elas se cancelam.
Vejamos alguns exemplos disso:
√9 = √3.3 = √3² = 3 (pois 3² = 9)

√25 = √5.5 = √5² = 5 (pois 5² = 25)
√0 = √0.0 = √0² = 0 (pois 0² = 0)

Abaixo temos um relógio onde as horas são marcadas por raízes quadradas. Que horas estaria o relógio marcando?

Todas as raízes quadradas desse relógio apresentam nos radicandos, números que são quadrados perfeitos, ou seja, vem do quadrado de outro número, como o 25, que vem do quadrado de 5 (5² = 25). Estes números possibilitam uma raiz quadrada inteira.
Mas como faremos quando tivermos uma raiz quadrada de um número que não seja quadrado perfeito, como √18 ?
Neste caso, devemos construir uma tabela com as raízes quadradas dos quadrados perfeitos e ver entre quais delas a raiz √18 estará colocada. Assim, teremos:
√1 = 1
√4 = 2
√9 = 3
√16 = 4
√25 = 5
Como o radicando 18 está entre os radicandos 16 e 25 da tabela construída, teremos que √18 deverá ter sua raiz entre 4 e 5. Assim, sabemos que a resposta será um pouco maior que 4. Como 18 está mais próximo de 16 do que de 25, podemos concluir que deveremos ter uma raiz mais próxima de 4 do que de 5. Assim, poderíamos "chutar" 4,2 ou 4,3. Pela calculadora, teremos √18 = 4,24... Portanto, teríamos uma boa aproximação da resposta.

Vejamos outro exemplo:
Descubra o valor aproximado de √41.
Como 41 não é um número quadrado perfeito, vamos construir a tabela:
√1 = 1
√4 = 2
√9 = 3
√16 = 4
√25 = 5
√36 = 6
√49 = 7
Como o radicando 41 está entre os radicandos 36 e 49 da tabela construída, teremos que √41 deverá ter sua raiz entre 6 e 7. Assim, sabemos que a resposta será um pouco maior que 6. Como 41 está aproximadamente no meio de 36 e 49, podemos concluir que deveremos ter uma raiz próxima de 6,5. Pela calculadora, teremos √41 = 6,40... Portanto, teríamos uma boa aproximação da resposta.

Quando aplicamos a raiz quadrada em uma multiplicação ou uma divisão, se quisermos, podemos aplicar ela separadamente em cada uma das parcelas dessa operação.
Vejamos alguns exemplos disso:

√36/64 = √36/√64 = 6/8 = 3/4 ou 0,75 (dividindo o numerador e o denominador da fração 6/8 por 2)
√400 = √4.100 = √4 . √100 = 2.10 = 20
√10000 = √100.100 = √100 . √100 = 10.10 = 100

As vezes, torna-se interessante fazer o contrário, ou seja, termos uma divisão ou multiplicação de raízes quadradas e uni-las em uma só raiz, de forma que obtemos assim uma resposta mais simplificada.
Vejamos alguns exemplos disso:
√8 / √2 = √8/2 = √4 = 2
√5 . √5 = √5.5 = √25 = 5
√2 . √18 = √2.18 = √36 = 6
(√6)² = 6 (pois é igual a √6.√6 = √6.6 = √6² = 6)
Assim, uma raiz quadrada dentro de um quadrado se cancelam.
(√1)² + √3.√3 = 1 + √3.3 = 1 + √3² = 1 + 3 = 4

Atividade 1: Realize as operações abaixo:
A-) √400 = √4.100 = √4.√100 = 2.10 = 20
B-) √3600 = √36.100 = √36.√100 = 6/10 = 3/5 ou 0,6
C-) √45 / √5 = √45/5 = √9 = 3
D-) √50 / √2 = √50/2 = √25 = 5
E-) √4/36 = √4/√36 = 2/6 = 1/3 ou 0,333...
F-) √1/16 = √1/√16 = 1/4 ou 0,25
G-) √50 = aproximadamente 7,1

Atividade 2: A idade da cachorrinha do professor tem o mesmo valor que a área do retângulo abaixo. Qual será?

Resposta: Como a área de um retângulo é o produto dos lados vizinhos, teremos:
√2.√8 = √2.8 = √16 = 4
Portanto, a cachorrinha do professor tem 4 anos de idade.

Vídeos 6

Os vídeos abaixo são relacionados a Potenciação. Assista a todos.