Parte 1: Quais são os conjuntos numéricos que existem?
A primeira necessidade de representação numérica escrita por símbolos do homem foi a contagem numérica de números inteiros onde, posteriormente, incluíram o zero. Assim, criou-se o primeiro conjunto:
1º)Conjunto dos Números Naturais:São todos os números inteiros positivos, incluindo o zero. É representado pela letra maiúscula N.
N = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10, ...}
Com o tempo, houve a necessidade de troca de produtos e mercadorias, ocorrendo muitas vezes uma conta em que se fica devendo determinado valor, como por exemplo: 5 - 8. Assim, havia a necessidade de se representar um número que demonstrasse a dívida existente. Dessa forma, foram criados os números negativos e o conjunto dos Naturais foi ampliado para outro conjunto maior:
2º)Conjunto dos Números Inteiros:São todos os números que pertencem ao conjunto dos Naturais mais os seus respectivos opostos (negativos). São representados pela letra Z.
Z = {... -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, ...}
Em certo momento, havia a necessidade de se dividir um número em partes que não resultavam em um valor inteiro, como 3/2. Dessa forma, era necessário criar novos números e um conjunto ainda maior que representasse todos os números que resultassem da operação de divisão:
3º)Conjunto dos Números Racionais:São todos os números que podem ser obtidos através de uma razão, ou seja, de uma divisão. São representados pela letra Q.
Assim, estariam incluídos neste conjunto os números: * Naturais:exemplos:10/2 = 8/4 = 6/3 = 4/2 = 2/1 = 2 * Inteiros:exemplos:-100/10 = -50/5 = -10/1 = -10 * Números decimais de expansão finita, ou seja, que tem fim:exemplos:
5/2 = 2,5
-1/2 = -0,5
* Números decimais de expansão infinita (que não tem fim) e periódica (que se repetem em ciclos). Esses números são chamados de Dízimas Periódicas:
exemplos:
0,333333333... = 1/3 = 2/6 = 3/9
4,0909090909... = 45/11
Com a evolução da ciência e da matemática, descobriram-se números que não eram finitos e periódicos. Tais números não eram resposta de nenhuma operação de divisão e, como não eram Racionais, formou-se um novo conjunto a parte:
4º) Conjunto dos Números Irracionais:É formado pelos números decimais infinitos e que não são periódicos. É representado pela letra I.
Exemplos: o número PI (π), que vale3,14159265.... o PHI (Φ), calculado em 1,618 033 989... . Também são irracionais todas as raízes não dão resposta exata, como √2, √3, √5, ...
Parte 2: Tipos de Fração.
Fração Própria: o numerador da fração é menor que o denominador.
Fração Imprópria: o numerador da fração é maior que o denominador.
Fração Aparente: é uma fração imprópria que se torna em um número natural, quando se divide o numerador pelo denominador.
Número Misto: é outra forma de representarmos uma fração imprópria.
Parte 3: Convertendo os números.
Transformando números decimais em fração.
Para transformar um número decimal em fração basta escrever, no numerador desta fração, o número sem vírgula e no denominador colocar a unidade (1) seguida de tantos zeros quantas forem as casas decimais.
Assim, vejamos alguns exemplos:
0,4 = 4/10 (onde, se quisermos, podemos reduzir para 2/5)
0,51 = 51/100
0,004 = 4/1000 (onde, se quisermos, podemos reduzir para 2/500 ou 1/250)
5,02 = 502/100 (onde, se quisermos, podemos reduzir para 226/50 ou 113/25)
40,1 =401/10
0,0304 = 304/10000(onde, se quisermos, podemos reduzir para 152/5000 ou 76/25000) Veja mais exemplos do mesmo número escrito de formas diferentes, ou seja, na forma fracionária e na decimal.
Transformando frações em números decimais.
Uma fração nada mais é do que uma razão (divisão) entre dois números, o numerador e o denominador. Portanto, para transformar uma fração em um número decimal, basta dividir o numerador pelo denominador desta fração.
Exemplos:
4/5 => dividindo o numerador 4 pelo denominador 5, teremos 0,8. 1/2 => dividindo o numerador 1 pelo denominador 2, teremos 0,5.
Algumas vezes ao tentarmos transformar uma fração em um número decimal, percebemos que a divisão não termina nunca, onde sempre acabam se repetindo os mesmos números no quociente. Um bom exemplo é a fração 14/3. Quando isto acontece, chamamos a fração resultante de dízima periódica.
Parte 4: Descobrindo a geratriz da Dízima Periódica.
As dízimas periódicas são números racionais e, sendo assim, podem ser transformadas em uma fração, a qual chamamos de fração geratriz da dízima periódica.
Vamos descobrir agora como obter a fração que gera uma dízima periódica e também os tipos de dízimas que existem. 1º caso:Dízima periódica simples: A parte decimal, ou o período, repete-se imediatamente após a parte inteira. Vejamos um exemplo: 0,8888... X = 0,8888... 10.X = 10. 0,8888... 10X = 8,8888... Observamos que as partes decimais das duas dízimas estão iguais. Quando isto ocorrer, paramos de multiplicar a equação por 10 e efetuamos uma conta de subtração entre elas. Assim, teremos: 10X = 8,8888... - X = 0,8888...
9X = 8
9.X = 8 => X = 8/9 Portanto, a fração geratriz é 8/9, ou seja, se dividirmos 8/9 encontraremos 0,8888... 2º caso:Dízima periódica composta: Neste caso, a parte decimal contém um ou mais algarismos antes do período que se repete. Vejamos dois exemplos: 0,43333... X = 0,43333... 10.X = 10. 0,43333... 10X = 4,33333... 10.10X = 10.4,33333... 100X = 43,33333... Observamos que existem partes decimais iguais nas dízimas periódicas das equações. Quando isto ocorrer, paramos de multiplicar a equação por 10 e efetuamos uma conta de subtração entre as equações que apresentam essas partes decimais iguais que, neste caso, será as duas últimas equações. Assim, teremos: 100X = 43,33333... - 10X = 4,33333... 90X = 39
90.X = 39 => X = 39/90 = 13/30 Portanto, a fração geratriz é 39/90 ou 13/30, onde dividindo o numerador pelo denominador encontraremos 0,43333...
6,001111... X = 6,001111... 10.X = 10.6,001111...
10X = 60,011111...
10.10X = 10.60,011111...
100X = 600,111111... 10.100X = 10.600,111111...
1000X = 6001,111111... Observamos que as partes decimais das duas últimas equações são iguais. Portanto, vamos efetuar uma conta de menos entre elas: 1000X = 6001,111111... - 100X = 600,111111... 900X = 5401 Portanto, teremos: X = 5401/900 como a fração geratriz de 6,001111...
Vídeos 1:
Avaliação 1 (valor de 10 pontos)
Resolva a avaliação até sexta-feira a noite (07/05) e ganhe o ponto EXTRA. Caso você resolva após esse prazo, sua prova terá um valor máximo de 9 pontos.
Exercício 1: Podemos dizer que o número -205 pertence aos conjuntos:
(a) natural e racional
(b) inteiro e racional
(c) racional e irracional
(d) natural e irracional
Exercício 2: A fração 20/4 seria uma fração:
(a) própria
(b) equivalente a fração 12/3
(c) imprópria e aparente
(d) própria e aparente
Exercício 3: Se transformarmos o número 2,4 em fração, teremos:
(a) 24/100
(b) 2/4
(c) 6/5
(d) 12/5
Clique no aviso abaixo e você poderá responder e me entregar essa avaliação.
Tema 2: Frações e Notação Científica
Fração e seus significados
Podemos encontrar frações em diversos tipos e problemas e relacionados a outros conteúdos da Matemática. Vejamos alguns deles.
- Fração como parte de um todo.
Nesse caso a fração representa uma parcela a ser calculada em relação a um valor total. Vejamos dois exemplos:
- Fração como uma razão.
Nesse caso a fração representa uma razão entre duas grandezas diferentes. No exemplo abaixo, é a comparação entre uma medida em um mapa (em cm) e essa mesma medida na vida real (em Km):
A escala mostra que para cada 1 centímetro do desenho, teremos 250 quilômetros na realidades. Se transformarmos 250 Km em cm, teremos que para cada 1 cm do desenho, teremos 25 000 000 cm na realidade.
- Fração como uma probabilidade de ocorrer algo.
Nesse caso a fração representa a chance de determinado evento acontecer. Nesse caso, o numerador da fração sempre será o valor total de resultados possíveis, enquanto o denominador será a quantidade dos resultados que você deseja que aconteça. Vejamos um exemplo:
- Fração como uma porcentagem (%).
Nesse caso a fração representa o valor de uma porcentagem. Abaixo é mostrado como se transforma porcentagem em fração.
Vejamos um exemplo:
A reta numérica
Reta numérica é uma reta onde pode ser representada a posição de qualquer número pertencente ao conjunto dos Reais. Ela pode estar tanto na horizontal quanto na vertical. No centro da reta fica o zero, que é sua origem.
Vejamos alguns problemas relacionados a reta numérica:
Exemplo 1:João saiu da escola e estava indo em direção da igreja. Ele já percorreu cerca de 9/5 km. O ponto onde João se encontra é:
(A)O (B)M (C)L (D)N
Resposta: Vemos que, se dividirmos o 9 pelo 5 da fração 9/5, teremos 1,8. Portanto, João teria percorrido 1,8 Km e a posição M é a correta, ou seja, resposta B.
Exemplo 2:Represente os números abaixo na reta numérica:
Exemplo 3:
Utilizando o que aprendemos.
Vejamos alguns exemplos de problemas:
Exemplo 1:Complete a tabela com a quantidade de produtos vendidos e que ainda restaram na loja.
Exemplo 2: Transforme a parte colorida em frações e depois some todas formando um único número.
Operações com Notação Científica
Vimos no primeiro bimestre como se transforma um número comum na forma de Notação Científica. Caso você não se lembre, basta ir no menu deste blog na página de Março, que lá estará este conteúdo.
Agora vamos ver como resolver operações com Notação Científica.
Multiplicação:
Basta multiplicar as mantissas e fazer a soma dos expoentes.
Neste caso, os expoentes das potências de 10 não são iguais. Os expoentes não devem ser somados, pois se assim o fizéssemos, teríamos 9.105 como resposta, ou seja, 900 000, o que não é verdade. Assim, devemos fazer com que um dos expoentes fique igual ao outro, não importando qual fique, desde que ambos sejam iguais. Assim, por exemplo, se escolhermos o expoente 2, teremos:
Vamos agora tentar resolver a atividade abaixo relacionada a Notação Científica.
Atividade 1:O professor Eduardo caminhou 7500 centímetros quando observou uma bola. Pegou-a e caminhou mais uma distância, brincando com ela. Qual a distância percorrida em Notação Científica pelo professor?
Resposta: Devemos somar as duas distâncias para termos a distância total percorrida pelo professor. Assim, teremos:
= (0,75.104)+(2,8.104) = 3,55.104 = 35 500 cm ou seja, 355 metros.
VÍdeos 2
Avaliação 2 (Valor de 10 pontos)
1º Exercício-) Em um treino de pênaltis, foi combinado que cada jogador chutava 60 vezes. Pedro foi o melhor, acertando 2/5 das suas cobranças. Quantos pênaltis ele acertou?
(a) 12
(b) 15
(c) 18
(d) 24
2º Exercício-) Uma televisão que custava R$ 1500,00 sofreu um acréscimo de 20%. De quanto foi esse acréscimo?
(a) R$ 300,00
(b) R$ 400,00
(c) R$ 500,00
(d) R$ 600,00
3º Exercício-) A fração -3/15 e a dízima periódica 2,755555... estariam em quais posições da reta numérica mostrada abaixo?
(a) B e C
(b) A e E
(c) B e D
(d) A e C
Clique no aviso abaixo e você poderá responder e me entregar essa avaliação.
Tema 3: O começo das fórmulas
Descobrindo os números escondidos
Vamos tentar descobrir que números estariam sendo representados pelas figuras do sol, do coração, da lua e do raio.
Na matemática, utilizamos letras para representar números que ainda não descobrimos seu valor, e não símbolos em forma de desenhos.
Linguagem Algébrica
Expressões algébricas são expressões matemáticas que apresentam números, letras e operações.
As expressões desse tipo são usadas com frequência em fórmulas e equações.
As letras que aparecem em uma expressão algébrica são chamadas de variáveis e representam um valor desconhecido.
Os números escritos na frente das letras são chamados de coeficientes e deverão ser multiplicados pelos valores atribuídos as letras.
Duas observações importantes devem ser feitas:
- Uma variável sem coeficiente na frente representa que o coeficiente dela é um. Assim, por exemplo, X é igual a termos1.X.
- É bastante comum não representarmos o ponto de multiplicação entre a constante e a variável. Assim, por exemplo 4.Yé igual a4Y.
Vejamos alguns exemplos de situações que podemos transformar em expressões algébricas.
Exemplo 1-) Suponha que n seja a nota de uma prova.
Vou acrescentar um ponto a nota da prova de um aluno.
Teremos: n + 1
Depois vou dobrar a nota da prova desse aluno.
Teremos: 2.(n + 1)
Vou descontar dois pontos para quem entregar a prova atrasada.
Teremos: n - 2
Com outro aluno vou somar a nota da primeira prova (P) com a nota da segunda prova (S) e dividir tudo por 2.
Teremos: (P + S)/2
A diferença entre incógnita e variável.
A grande diferença entre as incógnitas e as variáveis é que as incógnitas possuem um valor determinável que, muitas vezes, é único. Por exemplo:
2.X = 6 (X é uma incógnita, pois o único valor possível para que a equação seja verdade é que X seja 3 => 2.3 = 6
Já as variáveis podem representar diversos valores, fazendo com que a expressão algébrica também varie seu resultado final. Por exemplo:
3.X + 5 (X é uma variável, pois dependendo o valor de X, teremos diferentes resultados finais para a expressão algébrica:
se X for 1 => 3.1 + 5 será 8
se X for 2 => 3.2 + 5 será 11
se X for 3 => 3.3 + 5 será 14 e assim por diante.
Vamos ver alguns exercícios que envolvem expressões algébricas.
Exemplo 2-)
Exemplo 3-) Será que o professor está certo?
Exemplo 4-)
Exemplo 5-)
Exemplo 6-)
VÍdeos 3
Os vídeos abaixo explicam sobre o tema Linguagem Algébrica.
Clique no aviso abaixo e você poderá responder e me entregar essa avaliação.
Tema 4: Sequências e Equações
Padrão matemático em sequências
Uma sequência pode ser representada através de imagens ou de números, que são chamados de termos. Veja um exemplo de uma sequência por imagens.
O mais comum são sequências numéricas. Portanto, teremos alguns exemplos delas aqui.
Vamos tentar criar expressão algébricas que representem essas sequências. Para isso, vamos sempre chamar de n a posição em que se encontra cada número.
Exemplo 1:
Exemplo 2:
Vejamos a sequência numérica:
(4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, ...)
Percebemos que nela encontramos somente números pares, onde o próximo número é sempre dois a mais que o anterior. Isto nos sugere que devemos ter a tabuada do 2, ou seja: 2.n , onde n representa a posição do número na sequência.
Porém, ao usarmos essa fórmula:
na primeira posição (n=1), temos 2.1=2 , mas lá está 4.
na segunda posição (n=2), temos 2.2=4 , mas lá está 6.
na terceira posição (n=3), temos 2.3=6 , mas lá está 8.
Ou seja, sempre dois a mais que o que teríamos em 2.n
Assim, a expressão correta seria somarmos 2 a fórmula, ou seja: 2.n + 2
Veja que agora:
substituindo n por 1, teremos 2.1 + 2 que dá 4.
substituindo n por 2, teremos 2.2 + 2 que dá 6.
substituindo n por 3, teremos 2.3 + 2 que dá 8.
Exemplo 3:
Abaixo temos uma sequência de figuras. Para descobrirmos qual seria a expressão algébrica dessa sequência, devemos primeiro contar quantos quadrados temos em cada figura. Assim, estaremos transformando uma sequência de figuras em uma sequência de números, que torna mais fácil descobrirmos a fórmula para essa sequência.
Vemos que os números formados são múltiplos de 5, ou seja, estão na tabuada do 5. Portanto, podemos dizer que a expressão algébrica seria: 5.n.
Veja que poderíamos modificar essa expressão para outras equivalentes, como:
2n + 3n ou 4n + n ou n + n + n + n + n ou até 6n - n. Todas essas expressões são iguais a 5.n.
Equação do Primeiro Grau
Para resolver um problema matemático, muitas vezes utilizamos uma equação quando queremos descobrir o valor de algo desconhecido. Nela, sempre utilizamos uma letra (incógnita) para representar um número que ainda não conhecemos e desejamos descobrir.
Vejamos um exemplo em que temos uma balança equilibrada em que o peso de três maçãs somado com 20 gramas é igual ao peso de 500 gramas. Qual seria o peso de cada maçã?
Podemos transformar toda essa história em uma sentença matemática, onde o peso da maçã que queremos descobrir chamaremos de x. Como a balança está equilibrada, o que se encontra de um lado será igual ao que se encontra do outro lado desta balança. Assim, teremos:
Sentença com palavras
Sentença matemática
3 maçãs + 20g = 500g
3 x + 20 = 500
Para resolver essa equação, utilizamos o seguinte processo para obter o valor de x.
3x + 20 = 500
Equação original
3x + 20- 20= 500- 20
Subtraímos 20 dos dois lados da balança
3x = 480
Dividimos por 3 os dois lados da balança
x = 160
Solução que chamamos de raiz da equação
Assim, descobrimos que o peso de cada maçã é de 160 g.
Observação importante:Quando realizamos a mesma operção matemática (soma, subtração, multiplicação ou divisão) nos dois lados da balança, ou seja, nos dois lados da equação, ela permanece em equilíbrio. Este processo nos permite resolver uma equação, ou seja, permite obter as raízes da equação, pois chamamos de raíz de uma equação a resposta que encontramos nela.
Vejamos mais exemplos para entendermos melhor.
Exemplo 1: Em uma balança, foram colocadas caixas de maneira que a balança ficou equilibrada. Se a letra x representa o peso da caixa, podemos dizer que este peso é de:
(A) 150 gramas
(B) 200 gramas
(C) 300 gramas
(D) 600 gramas
Resposta: Como a balança se encontra equilibrada, a soma dos pesos de um lado dela é igual a soma dos pesos do outro lado. Portanto, teremos:
x + x + x = x + 600
3.x = 1.x + 600
Se subtrairmos 1x dos dois lados da igualdade, teremos:
3x - 1x = 1x + 600 - 1x
2x = 600
Dividindo os dois lados da igualdade por 2, teremos:
x = 300
Portanto, cada caixa pesa 300 gramas.
Exemplo 2: Sabe-se que a balança ao lado está equilibrada e que todos os queijos apresentam o mesmo peso. Quanto deve pesar cada um deles?
Resposta: Como a balança se encontra equilibrada, a soma dos pesos de um lado dela é igual a soma dos pesos do outro lado. Supondo que x represente o peso de cada queijo, teremos:
x + x + x + 10 = x + x + x + x + x + 1 + 1
3.x + 10 = 5x + 2
Se subtrairmos 10 dos dois lados da igualdade, teremos:
3x + 10 - 10 = 5x + 2 - 10
3x = 5x - 8
Se subtrairmos 5x dos dois lados da igualdade, teremos:
3x - 5x = 5x - 8 - 5x
-2x = -8
Invertendo o sinal em ambos os lados da igualdade, teremos:
2x = 8
Dividindo por 2 a ambos os lados da igualdade, teremos: x = 4 Portanto, cada queijo pesa 4 quilos.
Exemplo 3: Um tapete com 9 metros de perímetro apresenta um comprimento que é o dobro da largura. Quais devem ser as medidas desse tapete?
Resposta:
O perímetro será a soma de todos os lados do tapete, que será igual a 9 metros. É daí que vamos construir nossa equação.
soma dos lados = perímetro
Se chamarmos de x a medida da largura desse tapete, teremos que o comprimento será 2.x . Assim, teremos:
x + 2x + x + 2x = 9
6x = 9
Dividindo os dois lados da igualdade por 6, teremos:
x = 1,5
Portanto, a largura do tapete (x) é de 1 metro e meio. Como o comprimento é o dobro da largura (2x), ele será de 3 metros.
Exemplo 4: Qual deve ser o valor de x se a figura tem seu perímetro medindo 22 centímetros?
Resposta: Somando todos os lados da figura, teremos o perímetro dela:
2x - 5 + 2x + 4 + 3x - 2 + x + 1 = 22
8x - 7 + 5 = 22
8x - 2 = 22
Somando 2 aos dois lados da igualdade, teremos:
8x - 2 + 2 = 22 + 2
8x = 24
Dividindo os dois lados da igualdade por 8, teremos:
x = 3
Portanto, x tem uma medida de 3 centímetros.
Exemplo 5: Dois amigos resolveram comprar um carrinho para viajar. Na compra, o carrinho foi dividido em 5 parcelas de 20 reais para cada um por mês. Quanto custou o carrinho?
Resposta: Existem vários modos de resolver esse problema.
Assim, aqui está um deles, onde chamaremos de x o preço do carrinho.
O preço do carrinho (x) dividido em 5 parcelas será igual ao que os amigos juntos devem pagar a cada mês, ou seja, 20 + 20 = 40 reais. Assim, teremos:
x/5 = 40
Multiplicando por 5 em ambos os lados da equação, teremos:
x = 200
Portanto, o preço do carrinho é de 200 reais.
Exemplo 6: O dobro de um número diminuído de 4 é igual a esse número aumentado de 1. Qual é esse número?
Resposta: Chamando de n o valor do número que ainda não conhecemos, teremos: 2.n - 4 = n + 1 Somando 4 aos dois lados da igualdade, teremos: 2n - 4+ 4= n + 1+ 4 2n = n + 5 Subtraindo n de ambos os lados da igualdade, teremos: 2n - n = n + 5 - n n = 5 Portanto, o número é 5. De fato, se dobrarmos 5, teremos 10. Diminuindo de 4, teremos 6, que é igual a pegar o número 5 e somar 1 a ele.
Exemplo 7: Uma casa com 260 m2 de área construída possui 3 quartos de mesmo tamanho. Qual é a área de cada quarto, se as outras dependências da casa ocupam 140 m2 ?
Resposta: O desenho ao lado explica como devemos montar a equação. Sabemos que a soma de todas as partes da casa deve ser igual a 260 m2 . Assim, utilizando a letra x para representar a área de cada quarto, teremos: x + x + x + 140 = 260 3.x + 140 = 260 Subtraindo 140 de ambos os lados da igualdade, teremos: 3x + 140 - 140 = 260 - 140 3x = 120 Dividindo ambos os lados da igualdade por 3, teremos: x = 40 Portanto, cada quarto tem 40 m2 de área.
VÍdeos 4
Os vídeos abaixo explicam sobre o tema Sequências e Equação.
Avaliação 4 (Valor de 10 pontos)
1º Exercício-) Na sequência numérica
13 23 33 43 53 63 ...
utilizando n para representar a posição dos números, podemos afirmar que a expressão algébrica que representa essa sequência é:
(a) 3.n + 10
(b) 10.n + 3
(c) 13.n
(d) 6.n - 1
2º Exercício-) A equação do primeiro grau
5Y - 15 = 30 tem como raiz o número:
(a) 1
(b) 3
(c) 5
(d) 9
3º Exercício-)Se a balança está em equilíbrio, quanto deve pesar cada lata?
(a) 5 g
(b) 10 g
(c) 15 g
(d) 20 g
Clique no aviso abaixo e você poderá responder e me entregar essa avaliação.
Algumas vezes ao tentarmos transformar uma fração em um número decimal, percebemos que a divisão não termina nunca, onde sempre acabam se repetindo os mesmos números no quociente. Um bom exemplo é a fração 14/3. Quando isto acontece, chamamos a fração resultante de dízima periódica.
Resposta: 
Exemplo 4: Qual deve ser o valor de x se a figura tem seu perímetro medindo 22 centímetros?
Exemplo 5: Dois amigos resolveram comprar um carrinho para viajar. Na compra, o carrinho foi dividido em 5 parcelas de 20 reais para cada um por mês. Quanto custou o carrinho?
Exemplo 6: O dobro de um número diminuído de 4 é igual a esse número aumentado de 1. Qual é esse número?
Resposta: O desenho ao lado explica como devemos montar a equação. Sabemos que a soma de todas as partes da casa deve ser igual a 260 m2 . Assim, utilizando a letra x para representar a área de cada quarto, teremos:
Nenhum comentário:
Postar um comentário